Rechner für die Geschwindigkeit chemischer Reaktionen

Dieser Rechner simuliert die Konzentrationsdynamik einfacher Reaktionen nach der Geschwindigkeitsgleichung r = k(T) · [A]^nA · [B]^nB. Er berechnet den temperaturabhängigen Geschwindigkeitsfaktor k nach Arrhenius, integriert die kinetischen Differentialgleichungen numerisch, liefert Startgeschwindigkeit r₀, Halbwertszeit t½ und Zeiten bis vorgegebener Konversion. Das Tool ist für Laborplanung, Prozessabschätzung und Lehre gedacht.

Kurzüberblick des Rechenwegs

1. Berechnung k(T) nach Arrheniusgleichung
2. Einsetzen von k in die Geschwindigkeitsformel r = k · [A]^nA · [B]^nB
3. Numerische Integration der Bilanzgleichungen d[A]/dt = −νA · r und d[B]/dt = −νB · r
4. Auswertung: r₀, t½, Zeiten bis 25, 50, 75 und 100 Prozent Konversion

Wichtigste Formeln

Arrhenius Gleichung

k(T) = A · exp(−Ea ÷ (R · T))

• A ist der Präexponentialfaktor
• Ea ist die Aktivierungsenergie in J mol⁻¹
• R ist die allgemeine Gaskonstante gleich 8.314462618 J mol⁻¹ K⁻¹
• T ist die absolute Temperatur in Kelvin gleich Celsius plus 273.15

Allgemeine Geschwindigkeitsformel

r = k(T) · [A]^nA · [B]^nB

• r ist die Reaktionsgeschwindigkeit in mol L⁻¹ s⁻¹
• nA und nB sind die kinetischen Ordnungen bezüglich A und B

Bilanzgleichungen für einen Batch Reaktor

d[A] ÷ dt = −νA · r

d[B] ÷ dt = −νB · r

• νA und νB sind stöchiometrische Koeffizienten, positiv für Reaktanten

Analytische Lösungen in Standardfällen

• Erste Ordnung, r = k · [A] ⇒ [A](t) = [A]₀ · exp(−k · t) und t½ = ln 2 ÷ k
• Zweite Ordnung für A + A → Produkte, r = k · [A]² ⇒ 1 ÷ [A](t) = 1 ÷ [A]₀ + k · t

Numerik und Integration

Die numerische Integration nutzt einen Runge Kutta 4 Algorithmus mit adaptiver Schrittwahl zur Balance von Genauigkeit und Rechenaufwand. Charakteristische Zeitτ wird abgeschätzt als [A]₀ ÷ r₀ um Schrittgrößen zu setzen. Wenn die Restkonzentration sehr klein wird, stoppt der Integrator automatisch um unnötige Rechnungen zu vermeiden.

Praktische Hinweise zur Eingabe

• Präexponent A und Ea müssen zu den Einheiten des Reaktionsordnungsmaßes passen
• Temperatur stets in Celsius angeben, intern wird Kelvin verwendet
• Bei sehr großen A oder kleinen Ea kann k extrem groß werden, dann beschleunigt die Reaktion stark
• t_end so wählen, dass die erwartete Dynamik vollständig abgedeckt ist

Beispiele mit neuen Zahlen und Rechenschritten

Beispiel 1, erster Ordnung

• Gegeben A = 2.0 × 10⁷ s⁻¹, Ea = 60 kJ mol⁻¹ gleich 60000 J mol⁻¹
• Temperatur T = 35 °C gleich 308.15 K
• Startkonzentration [A]₀ = 0.80 mol L⁻¹

Berechnung k(T): R·T ≈ 8.314462618 × 308.15 ≈ 2561.9 J mol⁻¹

Exponent −Ea ÷ (R·T) ≈ −60000 ÷ 2561.9 ≈ −23.43

exp(−23.43) ≈ 6.754 × 10⁻¹¹

k ≈ 2.0 × 10⁷ × 6.754 × 10⁻¹¹ ≈ 0.00135084 s⁻¹

Startgeschwindigkeit r₀ = k · [A]₀ ≈ 0.00135084 × 0.80 ≈ 0.00108067 mol L⁻¹ s⁻¹

Halbwertszeit t½ = ln 2 ÷ k ≈ 0.693147 ÷ 0.00135084 ≈ 513.12 s gleich 8.55 min

Beispiel 2, zweite Ordnung

• Gegeben k = 0.08 L mol⁻¹ s⁻¹, Start [A]₀ = 0.60 mol L⁻¹
• Reaktion A + A → Produkte, Formel 1 ÷ [A](t) = 1 ÷ [A]₀ + k · t

Nach t = 15 s gilt 1 ÷ = 1 ÷ 0.60 + 0.08 × 15 = 1.6667 + 1.2 = 2.8667

Also ≈ 1 ÷ 2.8667 ≈ 0.349 mol L⁻¹

Startgeschwindigkeit r₀ = k × [A]₀² = 0.08 × 0.36 = 0.0288 mol L⁻¹ s⁻¹

Was liefert die Ergebnisliste

• k(T) mit Dimension passend zur Reaktionsordnung
• r₀ die Anfangsgeschwindigkeit
• t½ für den ersten Ordnung Fall
• Zeiten bis 25, 50, 75 und 100 Prozent Konversion
• Grafiken von Konzentrationen und Geschwindigkeiten als Funktion der Zeit

Fehlerquellen und typische Fallen

• Falsche Einheiten von A sind die häufigste Fehlerursache
• t_end ist zu kurz gesetzt, dann wirkt die Reaktion unvollständig
• Nicht übereinstimmende Ordnungen und stöchiometrische Koeffizienten verwirren die Interpretation
• Analytische Formeln nur in ihren speziellen Fällen verwenden, ansonsten numerisch integrieren

Erweiterte Anwendung und Anpassung an Messdaten

Für experimentelles Fitting von Ea und A eignet sich ein ln k gegen 1 ÷ T Plot. Aus der Steigung bestimmt man Ea über −Ea ÷ R. Bei gemessenen Konzentrationsverläufen lassen sich k und Ordnungen durch nichtlineare Ausgleichsverfahren an die numerische Simulation anpassen. Für komplexe Reaktionsnetze empfiehlt sich Modularität, d. h. Aufbau von Teilnetzen und schrittweises Validieren.

Praxisregeln für Versuchsplanung

• Vor Messungen prüfen ob die erwartete τ zeitlich in den Messbereich passt
• Bei großen k kleine Messintervalle wählen
• Probenahme schnell und reproduzierbar durchführen um Mischungsartefakte zu vermeiden
• Für Thermostate: Temperaturgradienten vermeiden, die k lokal verändern

Das Werkzeug erlaubt schnelle Abschätzungen und realistische Simulationen einfacher Reaktionskinetik. Es ersetzt keine Laborarbeit, hilft aber bei Versuchsplanung, Parameterabschätzung und beim Verständnis wie Temperatur und Konzentration die Reaktionsgeschwindigkeit steuern.

Empfohlene Literatur

• Kinetik chemischer Reaktionen — Einführung und Praxis
• Chemische Reaktionsingenieurtechnik kompakt — Modelle, Methoden, Beispiele
• Physikalische Chemie und Reaktionskinetik — Konzepte und Anwendungen
• Numerische Methoden für Chemiker — Differentialgleichungen und Parameterfit

Dipl.-Ing. Andreas Wagner

Senior-Experte für Elektronik

Spezialisiert auf Schaltungsanalyse und HF-Technik mit über 30 Jahren Erfahrung. Andreas prüft die mathematische Präzision aller Elektronik-Tools bei RechnerLab.